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民科吴绍东



    我只物理数学成绩较好,高中毕业试我被补考了语文、政治、英语三科,不敢参加高考--哎承认是纯种民科。
    我领到锄头就拿锄头开工,中学时因怀疑液压公式的正确性而偶然用“锄头”证出了椭球体积公式……
    我一直想知道大学里是用什么方法证明椭球体积的公式的?
    (我也曾问过两三位大学的老师[不是数学老师],他们说可能用积分吧……)
    诚心向各位学者请教!


发表时间:2005-10-24 14:29:18


民科吴绍东


    椭球体积公式的中学证法
    吴绍东
    (中国广西南宁市横县邮政局六景支局,530313)
    高中课本给出了圆球体积公式的证明过程,而椭球的体积公式是如何证明的呢?其实我们完全可以运用中学所学的知识来证明椭球的体积公式。下面的证明借鉴了高中课本中证明圆球体积公式的方法,但愿证明方法二也能引入到高中的课本中去。
    证明方法一:
    [注:此证明方法是刚读高一时,在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的。此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S 。椭球体积公式的导出,起因于读初中时对液体压强公式的怀疑。此证明方法在此暂不给出。]
    证明方法二:
    如图(1),将底面直径皆为2b,高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面。有
    S圆 =π(c2-d2) 【1】
    S环 =πb2-πr2=π(b2-r2)
    因为 d/a=r/b(三角形相似)
    所以 S环 =π(b2-b2d2/a2) 【2】
    将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有
    (c2-d2)/b2+d2/a2=1
    即 c2-d2=b2-b2d2/a2 【3】
    将【1】、【2】代入【3】得
    S圆=S环
    再根据祖恒原理可知,这两个几何体是相等的。
    即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3
    即 V椭=4πab2/3
    帖子附图:


第1条回复 发表时间:2005-10-24 14:34:24


网文观止


    呵呵


第2条回复 发表时间:2005-10-24 14:47:46


老上海人


    楼主没读过高等数学吗?用柱形坐标,两次积分就出来了。大一学生都会解。


第3条回复 发表时间:2005-10-24 14:58:56


民科吴绍东


    多谢老上海人!!!
    但为什么有些大学老师说不懂呢?是他们一时忘了还是他们当学生时那课本没给出具体的证明呢?


第4条回复 发表时间:2005-10-24 15:23:00


老上海人


    楼主,你应该去问数学老师。对于由平面函数形成的回旋体的体积都可用积分方法求出。


第5条回复 发表时间:2005-10-24 15:30:40


民科吴绍东


    呵呵!我刚巧没碰上大学的数学老师,只问过物理、化学方面的老师。
    是不是课本没直接给出证明,而使得其它学科的一些老师不太注意到呢?
    非数学系的大一学生不一定会解吗?
    不知高中的数学老师会不会?
    谢谢!!!
    (我于图书馆及书店粗查阅过一些高等数学的书,没找到具体的证明方法)


第6条回复 发表时间:2005-10-24 16:28:59


瞎话瞎说


    楼主:
    在高等数学不需要“证明”椭球体积公式,因为用微积分的方法很容易计算出椭球体积。
    具体是这样作的:
    假定椭圆长轴为X,先写一个平面园的方程,园就是你图中的那个S圆,当然S圆的半径是X的函数,然后作积分,从椭圆长轴的一头积到另一头,即可得出椭球的体积。
    楼主的证明方法如果是你独立想出来的,并且没有错误的话。那你很聪明。
    所谓祖恒原理,就是为积分的原理。
    --
    反之,则反之.


第7条回复 发表时间:2005-10-24 19:24:30


新华书店员


    LZ真是高人!


第8条回复 发表时间:2005-10-24 19:38:01


wdzg168


    在直角坐标系下,椭球面的方程式是:
    x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
    它不一定是旋转体.瞎话瞎说的方法是定积分方法,但截面不一定是圆,而是椭圆.但这已经没多大困难,因为截面的两个半轴已知,故面积可求出(是x的函数),再积分就得出体积.
    如在三重积分中,作一个广义球面坐标变换,就简单地变为三个定积分之积,心算就可得到结果.


第9条回复 发表时间:2005-10-24 20:16:16


瞎话瞎说


    9楼给楼主出了一个更一般意义上的问题。
    楼主可以证明一下,一般意义上的椭球的体积问题,我来给楼主将问题叙述一下:
    用你在首贴的办法,假定垂直于椭球长轴的截面是一个椭圆(即S不是圆而是椭圆),请用祖恒原理证明:
    假定椭半球的体积V,椭圆柱的体积V1,椭园锥的体积V2;
    V、V1、V2有相同的椭圆底面和高;
    请证明下式是否成立:V=V1-V2。
    如果成立,搂主就得到一个更一般意义上的结论。
    --
    反之,则反之.


第10条回复 发表时间:2005-10-25 08:48:23


民科吴绍东


    咦!我还没想过截面是椭圆的……
    想来要运用到椭球面的方程式x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
    估计得到的椭球体积公式应为4πabc/3吧?
    我得试试看……
    非常感谢以上各位的指教!!!


第11条回复 发表时间:2005-10-25 14:29:41


民科吴绍东


    那是一个更具意义的证明
    请版主对比一下那图,是不相同的
    如版主认为仍不能发,请回复消息
    急!!!
    谢谢!!!
    是回10楼的帖的哦!

    注:此处指的版主是新华网科技探索论坛的版主,当时在新华网发帖都需要经过版主的人工审核后才能发出到论坛上。
    估计是由于版主以为我所发内容与第1个回复贴内容相同吧,所以我发证明方法二的第(二)部分的贴未能通过审核……


第12条回复 发表时间:2005-10-25 21:55:31

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